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三坐标中的矢量是干什么用的？2024-11-28 10:21:20
相信很多测量界的小伙伴经常在三坐标软件中会看到一个元素除了有质心的点坐标（x,y,z）外，还有矢量(I,j,k), 以PC-DMIS为例，如下图所示：
图1 PC-DMIS中的点坐标和矢量
点的坐标容易理解，可是矢量(I,J,K), 也就是上图中（-0.6546537，0，0.7559289）有什么用处呢？它的含义是什么？对评价的结果有影响吗？本期就这个问题做一个初步的探讨。
在讨论这些问题之前，我们先来看看下面这个案例。已知零件图如下图所示，要求测量8孔的位置度（红圈部分）。图2 图纸要求
在测量钣金孔的位置度的时候，很多时候采圆（因为太薄，只能采一层）代替该孔，通常情况下会在孔所在的端面选择样例点，即将圆投影到端面。见图3.
图3 几何图形中的实际圆心和理论圆心
图3中几何图形中绿色的点表示数模上孔投影到端面的圆的圆心T，红色的点表示实际钣金上孔（钣金已经有所变形）投影到钣金端面的圆的圆心P。已知采点后的数据如下图所示：图4 测得的实际圆心和理论圆心
图4显示的是理论点T点的坐标和矢量，实际点P点的坐标及矢量。我们如何利用这些测量数据可以计算出实际点P（也就是8圆）的位置度呢？
可能有小伙伴会认为，直接计算实际圆心P和理论圆心T的距离d1，再乘以2，就是实际被测孔的位置度，见下图。图5 直接计算理论点T和实际点P的距离d1
如果你真的这么认为，建议你继续往下看。
还是一句老话，评价的过程实际上是实际要素和理想要素的比对过程。可是图5中的理论点T是理想要素吗？
事实上，图5中的理论点T只是理想要素上的一个点，并非理想要素本身。对8孔的位置度来说，而真正的理想要素是T点所在的轴线（或者说是数模上孔的轴线），如果要计算被测孔的位置度，应该计算实际点P到理想要素，或者点P到数模孔的轴线的距离，再乘以2（根据定位最小区域法）。
也就是说直接计算实际点P到理论点T的距离的两倍作为位置度，是错误的算法！
那怎么正确计算出真正的位置度呢？
如图6所示，需要由实际点P向理想要素（数模孔轴线）作垂线，垂足是P’, 那么实际点P的位置度就是线段PP’长度的两倍。图6 计算真正的位置度
如何计算PP’的长度呢？
这就必须利用到三角函数和空间解析几何的知识，有兴趣的小伙伴可以跟我一步一步来看怎么把它真正位置度计算出来。图7 利用几何关系计算位置度
如图7所示，假设理论点T和实际点P的连线与理想要素（数模轴线）的夹角是a, 根据直角三角形PP’T的关系，不难得出：
问题就来了，PT的长度如何计算? a角怎么计算？
不着急，我们一步一步来。
先看PT的长度， 实际上线段PT的长度很好计算，因为我们已经知道实际点P点的坐标（x1,y1,z1）, 理论点T的坐标（x0,y0,t0）,那么根据空间解析几何计算空间两点距离的公式:好了，有了公式（1）和（2），到了这里还有最后一个问题，如何求的a角？
求a角是个比较大的话题，相信很多小伙伴都在这里被卡住，没有关系，我们一步一步利用数学公式把a角给求出来！
求a角的时候，必须要用到矢量（I,J,K）了，到现在为止才进入本篇文章的主题。
哪个是矢量数据呢？（你藐视我智商是不是？），图8中的红框部分的数据就表示的矢量。图8 矢量数据
不知道有没有小伙伴思考过，这个矢量数据指的是什么含义？为什么它一定在-1和+1之间？为什么这三个数据的平方和一定等于1呢？
要解释这个问题，我们要从向量的角度出发来理解。
实际上，图8中的红框部分表达的并非理想要素的向量，它表达的是理想要素的单位向量。
什么是单位向量？见图9.图9 向量与单位向量
先大概普及一下向量的基本知识。见图9，已知空间中存在一个向量MN（我们把它叫理论矢量）, 该向量的大小是MN的长度，术语叫模，方向是由M指向N。另外空间中存在另外一个长度（也就是模）为1的向量OU , 它和MN平行，且起点在坐标系原点。
为什么要提MN和OU这两个向量呢？因为他们满足上述的这种关系，我们就称向量OU是MN的单位向量！U点处的坐标就是单位向量OU的向量坐标。
显然，长度为1的向量OU在x,y,z坐标的投影长度分别是OA,OB,OC, 所以单位向量的OU的坐标是（OA,OB,OC），或者写成OAi+OBj+OBk。
图8中红框中的的矢量数据，实际上反映的是理论元素，或者叫轴线（矢量）的单位向量，不是理论元素本身。
好了，都这里为止，我们对单位向量做一个小结：
单位向量的模长为1（所以叫单位向量）单位向量的起点在坐标系的原点单位向量和理论向量平行单位向量的坐标是长度为1的线段在x,y,z轴的投影。假设该单位向量和x轴，y轴，z轴的夹角分别是a1,a2,a3, 那么它的向量坐标一定是（1*COS(a1), 1*COS(a2), 1*COS(a3)）。这回你应该知道为什么它每个坐标的分量小于1，而且平方和等于1了吧（平方和就是等于立方体的对角线长度的平方）？
我们来看看几个特殊的单位矢量，你或许就会恍然大悟。见图10.
图10 几个特殊的单位矢量
那单位矢量有什么用途呢？
大家都知道，一根直线在坐标系中的位置是确定的，比如图6中理想要素的轴线。如果我们知道这根直线上的一个已知点，还有这根直线的方向，这条直线在空间中就是唯一确定的。图11 点和矢量确定直线
图11A图中的T点是直线上的已知点，OU是和直线平行的单位向量。如果将单位向量平移到T点，这时就能表达直线a的直线,见图11B。假设T点的坐标是(x0,y0,z0), OU的向量坐标是(OA,OB,OC), 根据几何向量空间，则可以得出该直线的点向式方程：讲到这里，相信有很多小伙伴开始懵圈。这些都是大学的数学知识，如果忘记了，不要紧，大家只要知道一个事情就行，那就是图4中，三坐标命令框里出现的理论点的坐标和向量，实际上就在告诉我们一个确定的轴线的直线方程。
事实上，一个理论点和一个向量，还可以告诉我们一个唯一确定的平面方程，这里不再赘述。
扯了做么多，我们回到我们的主要任务，要算位置度，现在唯一不确定的就是PP’和理想要素（轴线）的夹角a。图12 计算夹角a
计算TP和TP’之间的夹角a, 实际上也是计算直线TP和单位向量OU的夹角（因为OU就是理想要素的单位向量，和TP’平行）。
接下来我用借用几何向量空间的一系列公式，来求得这个夹角。
假设理论点T点的坐标为（x0, y0,z0），实际点P点的坐标为（x1,y1,z1）, 那我们可以称向量OT的向量坐标为（x0,y0, z0），向量OP的向量坐标为（x1,y1,z1）, 而且还可以得出：
TP = OP – OT = (x1-x0, y1-y0, z1-z0) （3）
已知OU的向量坐标为（OA,OB,OC）, 根据几何空间向量的公式，如果已知两个向量的向量坐标，那么他们之间的夹角余弦就可以算出来。
TP和OU是两个已知的向量，它们之间的夹角a的余弦为：
(4)
根据三角函数不难得出下面公式：那么结合公式（1）很容易得出：(6)
实际测量的位置度则为：尽管公式（4）（5）（6）（7）看起来有点让人眼花缭乱，但是这些复杂的公式中所需要的所有信息，无非来源于三个：
理论点T的坐标(x0, y0,z0)实际点P的坐标(x1, y1,z1)理论点对应单位向量OU的坐标（OA, OB,OC）
而这些信息PC-DMIS都会提供（见图4）。也就是，只要知道了上述三个信息，我们自己也可以计算出实际测量的位置度！
将公式（4）（5）（6）（7）输入Excel表格，则可以自己计算出实际位置度。
我们来应Excel和PC-DMIS做一个对比。
图13 PC-DMIS中的数据和测量报告
接下来将（4）（5）（6）（7）中的公式整理成EXCEL表格，手动输入图13中同样的数据。结果如下图所示：图14 用EXCEL计算位置度
图14中，理论点T的坐标，理论向量a的坐标, 实际点P的坐标需要手动输入（和图13中的数据一样），其他所有橙色部分的表格自动计算。可以看出Excel的计算结果和PC-DMIS的计算结果一模一样！
需要注意的是，整个计算过程中，关于实际点的矢量没有被用到，说明它对位置度的评价没有影响。
回到我们的主题，三坐标的矢量是干啥用的？
被测孔和坐标系成特殊关系的时候，比如孔的轴向和Z轴平行（0，0，1），我们在计算位置度的时候，通常用x差值的平方和y差值平方开根号在乘以2得到，似乎和矢量方向没有关系，甚至和Z坐标也没有关系。
这只是计算位置度的一种特殊情况！
如果把这种特殊情形的数据带入图14中的表格，它同样也可以计算。
如果孔的轴线在坐标系中是斜的，那么位置度不仅仅和x,y,z的坐标都有关系，还和理论矢量也有关系，就是我们图14表格中所包含的复杂公式。
好了，这次讨论就到这里。总得说来，我们利用数学工具（有兴趣的小伙伴，去把《空间向量几何》或者《线性代数和空间解析几何》翻出来，拍拍灰，自行研究）探讨了一个非常简单的问题，揭开了三坐标后台计算的神秘面纱的一角（冰山一角的角），看到了她的有意思的一面。
本章小结
本篇文章针对一个钣金件上的斜孔，提出如何手动计算位置度的方法，目的是探索矢量坐标在整个计算过程中起到的作用，通过利用数学工具，可以看出，在计算过程中，矢量起的作用就是能够通过矢量的信息计算夹角，然后可以计算正弦值或者余弦值，最终能计算出真正的位置度。最后利用Excel表格和PC-DMIS做对比，验证了公式的正确性。
如果有发烧友想得到图14中的Excel表格，可以私信我。也建议有兴趣的发烧友以位置度为起点，再一步一步深入研究思考，我们会得到更多，甚至，我们也许能解开三坐标后台所有的算法。
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