随着人工智能技术的飞速发展，大模型AI正以其惊人的能力重塑世界。它们撰写文章、绘制画作、创作音乐、导演电影，甚至驾驶汽车——几乎无所不能。这些奇迹般的能力，源自于大模型中数以亿计的参数。
今天，我们将通过一个简化的反向传播实例，揭示这些参数如何赋予神经网络识别和理解的能力。
神经元与神经网络的直观模拟
在前文《》中，我们用一个简单的瓶子模型形象地模拟了神经元的工作原理，收获了网友的好评：“真形象！”现在，让我们继续以直观的方式，深入探索神经网络的功能。
这是一个神经元，左侧接收输入信号，右侧产生输出结果。这是神经元的基本工作模式。当我们将多个这样的神经元首尾相连，就形成了一个复杂的神经网络。
这个神经网络由三层构成：
输入层：最左侧，包含4个神经元，负责接收外部信号。
隐藏层：中间层，包含3个神经元，负责处理和转换输入层的信息。
输出层：最右侧，包含2个神经元，根据隐藏层的处理结果产生最终输出。
在这个网络中，信号从左向右传播称为“正向传播”，而从右向左传播则称为“反向传播”。正向传播是网络进行推理和判断的过程，反向传播则用于调整神经元的参数，即学习和训练的过程。
大自然的启示：大树的养分传输
让我们用一棵大树来形象地理解这两种传播过程。大树的枝杈可以看作是神经元之间的连接，尖端的树叶可以看作是神经网络的输入端。在阳光的照射下，树叶进行光合作用生成有机物，并向树干和树根传送——这是“正向传输”的生动写照。
反过来，树根吸收的水分和矿物质沿树干向上输送至树叶的过程，则可称为“反向传输”。
在这个过程中，养分的分配并不均匀。阳光充足的一侧，树枝得以获得更多养分，从而长得更粗壮，树叶更茂盛；而阳光不足的一侧，树枝则细弱，树叶较稀疏。
神经网络也通过类似的方式调整参数。在训练过程中，网络根据输入数据判断哪些连接对于准确输出更为重要，进而加强这些连接的权重，这与大树对树枝的养分分配有着异曲同工之妙。
神经网络的参数调节过程
下面，我们具体了解一下神经网络如何通过学习调节参数。以一个瓶子模型为例，该模型对神经元的模拟非常精准。
假设瓶子上插的管子截面积用w表示，水流长度用x表示，则流入总水量z为：
当瓶子内部的上下两条水位线之间的体积为V时，如果流入总水量z小于V，则不出水；只有当z超过V时，出水口才会出水。
用公式表示为：
如果
如果
为了计算方便，把V移到公式左边，即：
如果
如果
为了计算方便，我们用b表示−V，于是z的值变为：
如此变换后，出水条件变为：
如果 z<0 不出水。
如果 z≥0 出水。
以上公式称为激活函数，该激活函数的曲线如下图：
图中，y=0代表不出水，y=1代表出水。
为了使激活函数在0点处更光滑，我们对其进行了调整，变为S曲线（Sigmoid）形式。如图：
这样的改变是为了有利于后面进行的反向传播的计算。
实际示例：字符识别器
下面我们演示一个实际的例子。我们用前述的三层神经网络做一个简单的字符识别器，它能识别两个符号：横和竖。符号只有4个像素，两个像素横向连接代表“横”，竖向连接代表“竖”。共有4种点阵排列方式。
我们用神经网络的4个输入端连接点阵图形的四个像素。
经过神经网络的推理，输出结果为“横”或“竖”的概率。为方便表达，我们用数字“0”代表“横”，数字“1”代表“竖”。
下图把神经网络的每一条连接的参数标注出来：
每条连接线旁都标有一个参数，x代表输入参数，共有4个。w代表神经元之间的连接参数，代表该连接的权重。权重w的数量很多，用数字下标区分，如w231 。其中数字的含义是：大的2代表是第2层神经元的参数，第一个下标3代表上一层神经元的序号，第二个下标1代表下一层神经元的序号。
z是某个神经元所有输入的累加和，a是对累加和z计算激活函数的值。o代表最终的输出值。
本例中间层的神经元有4个输入，z值的计算公式为：
其中b可以写作 b*1，从计算规则上说，可以把b当做一个特殊的神经元，其输入值恒为1。所以，上图中第一层和第二层神经元下方各有一个虚线画的神经元，代表b*1这个神经元。
把所有参数汇集在一起列成一张表，把图中相同颜色的参数列为一行，如下图：
作为示例，我们手工计算一下中间层第一个神经元的输入累加和：z21（下图紫色部分）。
= (-2.032)*1+3.450*1+(-1.395)*0+4.097*0+1.071*1 = 2.48915
再计算第三层第一个神经元的输入累加和：z31（下图橙色部分）。
z31 = (-4.313)*0.923+3.857*0.333+2.910*0.166+(-0.335)*1 = -2.549
由于参数数量众多，手工计算工作量巨大。为此，我在Excel中编写了一段程序，让电脑自动完成这些计算。各位读者不会编程也没关系，只需把代码复制粘贴到Excel中，按下面的步骤操作ABC三步，计算过程就自动完成了。程序代码附在本文末尾。
使用Excel进行神经网络计算
首先打开Excel软件，新建一个空白表格。然后按 Alt+F11 组合键，打开编程窗口。
右侧的窗口是程序窗口，请按照图中标示①②的顺序，点开小框中的“+”号变为“-”号，再双击“Sheet1”，把光标移到③处单击，就可以向里面粘贴程序代码了。复制成功后是这个样子：
第一步（A），向上滚动屏幕窗口，找到Sub开头的第一个程序：“A准备数据()”，如上图中红框内所示。把鼠标移到红框下面一行，点击左键，确保光标保持在红框下方。按F5功能键即可运行这段程序。
程序会向左侧的Excel表格中写入原始数据，参数用随机数赋值。
第二步（B)，继续向下滚动屏幕窗口，找到Sub开头的第二个程序：“B开始训练()”，如下图中红框内所示。把鼠标移到红框下面一行，点击左键，确保光标保持在红框下方。按F5功能键即可运行这段程序。
这个程序设定训练500次，所以程序需要运行十几秒钟。你可以点击屏幕左半部的表格，即可看到完整的运行界面，如下图：
界面中间有个小窗口，显示当前已完成的训练次数和总误差。随着训练次数的上升，总误差会不断下降。下图显示实际训练100次、300次、500次时，总误差的变化情况：
训练500次后，参数基本调整到位，可以识别出点阵符号是横还是竖了。
第三步（C），检查识别的准确性。按 Alt+F11 组合键，重新打开编程窗口，向下滚动屏幕窗口，找到Sub开头的第三个程序：“C开始推理()”。
黄框内的数据可以修改，你可以给出任意排列的4个横或竖的数据，看神经网络能否正确识别。
把鼠标移到红框下面一行，点击左键，确保光标保持在红框下方。按F5功能键即可运行这段程序。
识别结果在中间的窗口中，右侧的输出数据和答案表明，识别正确！
“正向传播”的程序代码
在“B开始训练()”程序中，利用了Excel中的矩阵乘法功能，可以一把完成正向传播过程中某一层的所有z值的计算。比如，计算第二层的z2，使用以下语句完成：
看上图中的程序代码：
第一个Set语句设定输入矩阵x1的区块大小（粉色圈内）；
第二个Set语句设定参数矩阵w2的区块大小（橙色圈内）；
第三个Set语句设定结果矩阵z2的区块大小（棕色圈内）；
然后调用Excel函数：Application.MMult(w2, x1)，三个z2值即可一并计算完成，并输出到z2指定的区块中。是不是非常简单？
后两行计算激活函数：首先设定激活函数值a2的区块大小（蓝色圈内），
然后调用函数：S曲线激活函数(z2)，结果就自动填写到蓝色圈内了。
第三层神经元的正向传播过程也是同样，这里就不重复了。
神经网络通过正向传播得到结果后，通常识别精度不高，误差值较大。所以，需要通过反向传播逐步调整参数，目标是把误差值降到最低。
通过计算标准答案和实际输出之间的差值得到误差值，以下语句计算误差值：
其中ei是对单个点阵符号的输出误差，CT是4个点阵符号的总误差，又称为损失函数。
根据数学原理，当一个函数的导数等于0时，是函数取得最小值的必要条件。因此，为了使损失函数的值尽可能小，需要计算参数的导数。
“反向传播”的程序代码
下图显示了在第3层进行反向传播的过程：
首先根据误差e、输出o3记忆o3的导数do3计算出δ3（粉色圈内）。
δ3对应于正向传播中的z3，是为了减小总误差，z3需要调整的量。这是反向传播的第一步。
之后，根据δ3，计算出第三层每个参数的调整量δw3（蓝色圈内）。
不过，δw3只是针对一个点阵符号的误差所对应的参数调整量，实际有4个点阵符号，所以应计算出4个参数调整量并累加。
这样就计算出本轮第三层每个参数的调整量Δw3（棕色圈内）。这是反向传播的第二步。
最后把参数w3与调整量Δw3相加，即可得到新的参数，这是反向传播的第三步，同时完成了一轮的训练过程。
通常，单凭一轮训练不可能得到最恰当的参数，使误差最小。所以需要使用新的参数重新进行“正向传播”和“反向传播”，不断重复上述过程，直至达成目标。此方法称为“梯度下降法”。本程序设置重复训练500次，误差基本达到较小的水平。
第2层进行反向传播的过程同理，就不再赘述了。
更多Excel编程的基本操作可参阅以下文章，零基础讲起：
《》请点击以下链接获取完整源代码：
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